Mathematik: Grundlagen der linearen Algebra über F_1
Released by matroid on Fr. 20. November 2020 14:29:42
Written by Triceratops - (183 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$

Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombinatorik verwandt, und viele Konstruktionen aus der gewöhnlichen linearen Algebra lassen sich nun kombinatorisch deuten und vereinfachen. Aber auch umgekehrt: so können wir etwa den Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}}$ als die Anzahl der $k$-dimensionalen Unterräume eines $n$-dimensionalen $\IF_1$-Vektorraumes definieren, womit wir eine Brücke zur kombinatorischen Definition der $q$-Binomialkoeffizienten schlagen, über die ich kürzlich hier geschrieben habe.
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Mathematik: Ein paar Worte zum Computerprogramm Zillions of Games
Released by matroid on Mo. 26. Oktober 2020 22:03:44
Written by Delastelle - (284 x read)
Software  \(\begingroup\)
Um das Jahr 1999 erschien das Computerspiel "Zillions of Games".
Mit ihm kann man eine Vielzahl von Brettspielen spielen.
Durch Regelfiles und Suchbaumtechniken kann man gegen den Computer spielen. \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Released by matroid on Sa. 06. März 2010 00:35:51
Written by Florian - (17970 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)


Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?


Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.
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Mathematik: Einführung in q-Binomialkoeffizienten
Released by matroid on Di. 20. Oktober 2020 06:42:45
Written by Triceratops - (362 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Einführung in $q$-Binomialkoeffizienten

Ausgehend von der kombinatorischen Fragestellung, wieviele Unterräume ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem endlichen Körper $\IF_q$ hat, schauen wir uns $q$-Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}_q}$ genauer an. Man kann sie als eine Verfeinerung der gewöhnlichen Binomialkoeffizienten ansehen: es sind nämlich Polynome in $q$, deren Koeffizientensumme $\smash{\binom{n}{k}}$ ist. Neben der allgemeinen Definition und einigen Rechenregeln charakterisieren wir sie auch mit einem nicht-kommutativen Binomialsatz und beweisen verschiedene kombinatorische Interpretationen ihrer Koeffizienten.
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Stern Mathematik: Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace
Released by matroid on Do. 17. September 2020 19:18:39
Written by Triceratops - (611 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Koordinatenfreier Entwicklungssatz von Laplace

Der Entwicklungssatz von Laplace aus der linearen Algebra wird üblicherweise als eine Aussage über Matrizen formuliert und durch eine direkte Rechnung bewiesen. In diesem Artikel formulieren und beweisen wir eine koordinatenfreie Version dieses Satzes, die zwar nicht neu, aber relativ unbekannt ist. Sie handelt entsprechend von linearen Abbildungen. Das wesentliche technische Hilfsmittel sind äußere Potenzen.
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buhs Montagsreport: Schule digital
Released by matroid on So. 13. September 2020 22:12:05
Written by buh - (366 x read)
Bildung  \(\begingroup\)
Urlogo für buhs Montagsreport
Schule digital***

2000 - wie alles begann*


Berlin. Nachdem sich die Welt um mich herum unübersehbar verändert hatte und selbst die Kaufhauskassen eigene Bildschirmschoner zeigten, dämmerte mir langsam, dass ich, wollte ich nicht als C64-er über Bord gehen, meine Arbeit umfassend revolutionieren müsse. Ich bin Lehrer für Mathematik, von einem Stande also, den schon Pythagoras von Samos so ausübte wie wir heute. Im Mathematikunterricht der letzten 200 Jahre hat es nur zwei Veränderungen gegeben: Laisser-faire ist als Form der Disziplin allgemein anerkannt, und das Eintrichtern elementarer Weisheiten zu Zins- und Bruchrechnung wurde ersetzt durch \(\endgroup\)
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Mathematik: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
Released by matroid on So. 06. September 2020 12:44:15
Written by Kezer - (372 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"?

Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der

Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD| \geq |AC| \cdot |BD|,$$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $ABCD$ ein Sehnenviereck ist.

Diesen Satz kann man mit verschiedenen Methoden, von einer Winkeljagd, trigonometrischen Rechnungen bis zu Ansätzen mit komplexen Zahlen, beweisen. Einer meiner Lieblingsbeweise verwendet die sogenannte Inversion am Kreis. Wir werden in diesem Artikel die Technik der Kreisinversion behandeln, um den Satz von Ptolemäus zu beweisen. Gleichzeitig werden wir sehen, wieso der Satz von Ptolemäus eigentlich bloß die Dreiecksungleichung ist.

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Stern Mathematik: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
Released by matroid on Fr. 14. August 2020 15:34:03
Written by Triceratops - (1420 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle

Ist $0$ eine natürliche Zahl? Wieso ist $1$ keine Primzahl? Was ist $0^0$? Was ist eine Basis des trivialen Vektorraumes? Wieso ist der triviale Ring ein Ring mit Eins, aber kein Körper? Ist der leere Raum zusammenhängend? Sollten wir den leeren Graphen zulassen? Welche Dimension hat die leere Mannigfaltigkeit? Was ist der Grad des Nullpolynoms? Was ist die freie Gruppe auf der leeren Menge? Wieviele Orientierungen hat ein Punkt?

Solche und ähnliche Fragen über triviale Fälle werden in diesem Artikel beantwortet. Dabei streifen wir verschiedene Gebiete der Mathematik. Das wiederkehrende Motiv lautet hierbei, dass es sich um keine Konventionen handelt, sondern die Definitionen (wenn man sie denn richtig formuliert) die trivialen Fälle bereits mit abdecken. Sie brauchen also tatsächlich gar keine Sonderbehandlung, auch wenn das in manchen Quellen suggeriert wird, ja sogar zu uneinheitlichen Konventionen geführt hat.

Ein anderes wiederkehrendes Motiv ist, dass es tatsächlich sinnvoll ist, triviale Fälle mit einzuschließen (wenn sie nicht gerade zu einfach sind, um einfach zu sein), auch wenn sie zunächst nicht wirklich interessant erscheinen und manchmal der (falsche) Eindruck entsteht, dass sie nicht in die allgemeine Theorie passen. Tatsächlich würde der Ausschluss von trivialen Fällen die Mathematik unnötig kompliziert machen. Man stelle sich einen Würfel vor, der die Mathematik repräsentiert: wir würden doch nicht seine Ecken abschneiden, nur weil ihre Koordinaten langweilig sind. Zudem würde sich ein eckenloser Würfel nicht mehr aus kleineren eckenlosen Würfeln zusammensetzen.

Dieser Artikel ist sehr stark motiviert durch und angelehnt an die Diskussion MO/45951 auf mathoverflow. Außerdem habe ich noch einige Beispiele ergänzt, die mir über den Weg gelaufen sind. Wenn ihr weitere passende Beispiele habt, postet sie gerne in die Kommentare.
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Mathematik: Collatzsieb
Released by matroid on Fr. 24. Juli 2020 20:45:42
Written by blindmessenger - (784 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Collatzsieb



Einleitung



Es seien $X$ und $Y$ die Mengen

$$X=\{24n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{24n+17:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+13:n\in\mathbb N\}\cup\{48n+29:n\in\mathbb N\}\cup\{96n+37:n\in\mathbb N\}\cup\{192n+181:n\in\mathbb N\}$$
$$Y=\{6n+1:n\in\mathbb N\}\cup\{6n+5:n\in\mathbb N\}$$
Aus der Menge $X$ entsteht durch Collatziteration die Menge $Y$. Aus der Menge $Y$ wiederum lässt sich die Menge $X$ heraussieben. So lässt sich ein Sieb für Collatzfolgen konstruieren.

Im Folgenden wird gezeigt wie man dieses Sieb herleiten kann... \(\endgroup\)
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