buhs Montagsreport: Ein reverses Phänomen
Released by Leonardo_ver_Wuenschmi on Mo. 22. März 2021 00:00:14
Written by Leonardo_ver_Wuenschmi - (234 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Reverses Urlogo für buhs Montagsreport Ein reverses Phänomen Existiert die schwere Zeit? Ruhe.Vor einiger Zeit erzählte mir der Bibliothekar von Fibona eine sehr merkwürdige Geschichte: Unter seinen Büchern habe er eine sehr alte und merkwürdige Schwarte, die von "schwerer Zeit" in Fibona berichtet, gefunden. Das erschien mir äußerst interessant, und so begleitete ich ihn zurück nach Fibona, lieh mir das Werk aus und las es in einem Stück. Noch heute bin ich beeindruckt, aber auch verwirrt: Es soll, so berichtet die Schwarte, vor vielen Jahren in Fibona das Phänomen der sogenannten "schweren Zeit" aufgetreten sein. Schwere Zeit? \(\endgroup\)
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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Released by matroid on Sa. 06. März 2010 00:35:51
Written by Florian - (18440 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?

Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt. Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen. Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat. Viel Vergnügen. \(\endgroup\)
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Mathematik: Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien
Released by matroid on Sa. 20. März 2021 11:04:58
Written by Triceratops - (228 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Limes-Skizzen und ihre Modell-Kategorien

Üblicherweise studiert man universelle Eigenschaften von Objekten innerhalb einer festen Kategorie. Weil aber unter geeigneten Größenannahmen auch Kategorien eine Kategorie bilden (genauer gesagt, eine $2$-Kategorie), kann man auch universelle Eigenschaften von Kategorien selbst untersuchen. Wir beschäftigen uns hier ausschließlich mit kovollständigen Kategorien. Konkret fragen wir uns also, wie sich die kostetigen Funktoren von typischen Kategorien wie zum Beispiel $\mathbf{Mon}$ oder $\mathbf{Pos}$ in eine beliebige kovollständige Kategorie $\mathcal{C}$ klassifizieren lassen. Viele Kategorien aus der Praxis lassen sich als die Kategorie $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ der Modelle einer Limes-Skizze $\mathscr{S}$ darstellen. Wir werden diese Konzepte in diesem Artikel vorstellen und damit unser Hauptresultat, die universelle Eigenschaft $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mod}(\mathscr{S}),\mathcal{C}) \simeq \mathbf{Mod}_{\mathcal{C}}(\mathscr{S}^{\mathrm{op}})$ beweisen. Sie besagt im Wesentlichen, dass $\mathbf{Mod}(\mathscr{S})$ das universelle Beispiel einer kovollständigen Kategorie mit einem Modell von $\mathscr{S}^{\mathrm{op}}$ ist. Dann schauen wir uns einige Beispiele wie etwa $\mathrm{Hom}_c(\mathbf{Mon},\mathcal{C}) \simeq \mathbf{CoMon}(\mathcal{C})$ genauer an.
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buhs Montagsreport: Unser Planet
Released by matroid on Do. 18. März 2021 00:00:00
Written by buh - (201 x read)
Matroids Matheplanet  \(\begingroup\) Jubilogo in buhs Montagsreport Unser Planet 20 Jahre - 88 Millionen Zinbiel: Tiefschwarze Stille. Tonlose Dunkelheit. Es ist null Uhr. Achtzehnter März. DA! Ein Lichtpunkt an der Stirnwand, blass zunächst, dann langsam, ganz langsam heller werdend. Der Punkt wird ein Bild:
20 von hinten
Eine Kadenz in 3B* erklingt, an allen Wänden flammen Monitore auf, und die 32 Seniolos** \(\endgroup\)
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Mathematik: Über die Adjunktion von Wurzeln
Released by matroid on Sa. 20. Februar 2021 08:27:16
Written by Triceratops - (291 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über die Adjunktion von Wurzeln

Eine beliebte Aufgabe aus der Algebra ist es, den Grad und die Galoisgruppe von Erweiterungen der Form $\IQ(\sqrt{p},\sqrt{q},\dotsc)$ für konkrete Beispiele von Primzahlen $p,q,\dotsc$ zu bestimmen, zum Beispiel von $\IQ(\sqrt{2},\sqrt{3})$. Außerdem soll oftmals ein primitives Element und dessen Minimalpolynom gefunden werden. In diesem Artikel behandeln wir allgemeiner Erweiterungen der Form $K(\sqrt{\Delta})$ eines Körpers $K$ der Charakteristik $\neq 2$ für beliebige Untergruppen $\Delta \subseteq K^{\times}$. Es handelt sich um einen relativ einfachen Spezialfall der Kummertheorie, nämlich für den Exponenten $2$.
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Mathematik: Die radiale Brachistochrone: Think big
Released by matroid on Mo. 01. Februar 2021 22:06:00
Written by MontyPythagoras - (563 x read)
Physik  \(\begingroup\)

Die radiale Brachistochrone: Think big

Brachistochrone AnimationIn meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich mich diesmal mit dem beliebten Brachistochronen-Problem befassen. Mit dieser Problemstellung haben sich schon vor mehr als drei Jahrhunderten bekannte Wissenschaftler wie Bernoulli, Leibniz und Newton im homogenen Gravitationsfeld befasst. Also sowohl der betrachtete Körper als auch die Wissenschaftler befanden sich im homogenen Gravitationsfeld - letztere zumindest näherungsweise. Die Lösung dieses Problems, also die schnellstmögliche Fallkurve zwischen zwei Punkten im homogenen Gravitationsfeld ist bekanntermaßen die Zykloide. Auch hier auf dem Matheplaneten hat es dazu schon Artikel gegeben, z.B. hier. Getreu dem Motto "Think big" habe ich mich dagegen damit beschäftigt, wie die Brachistochrone in einem radialen Schwerefeld wie dem eines Planeten aussieht. Dazu war auch im Internet nicht all zu viel zu finden, außer dem Artikel in der Quellenangabe, dessen Autoren sich alle Mühe gegeben haben, das Problem möglichst kompliziert aussehen zu lassen. Es geht aber auch deutlich übersichtlicher. \(\endgroup\)
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Mathematik: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
Released by matroid on Fr. 29. Januar 2021 08:31:10
Written by easymathematics - (1039 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz

Hallo, in diesem Artikel soll es um folgende Fragestellung(en) gehen. (1) Lässt sich der Sinussatz mit Hilfe des Kosinussatzes beweisen? (2) Lässt sich der Kosinussatz mit Hilfe des Sinussatzes beweisen? (3) Sind beide Sätze sogar äquivalent? Die Antwort: Beide Sätze sind äquivalent. Anmerkung: Wir reden hier von Dreiecken in der Ebene. Der Beweis ist, wie man erwarten darf, simpel. Die Aussage als solche dennoch erwähnenswert. \(\endgroup\)
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Matheplanet-Award: Verleihung der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards
Released by matroid on So. 24. Januar 2021 15:00:00
Written by matroid - (1238 x read)
Matheplanet-Award  \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Verleihung
der 19. Matheplanet-Mitglieder-Awards
24. Januar 2021
\(\endgroup\)
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Mathematik: Über Berührungen und Ableitungen
Released by matroid on Di. 19. Januar 2021 06:36:43
Written by Triceratops - (321 x read)
Mathematik  \(\begingroup\)

Über Berührungen und Ableitungen

In dem Buch 'Grundzüge der modernen Analysis' von Dieudonné wird der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion zwischen normierten Räumen sehr anschaulich und geometrisch mithilfe einer Berührungsrelation eingeführt. Die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt wird dadurch definiert, dass sie dort von einer affin-linearen Funktion berührt wird. Leider taucht diese Relation dort nur kurz in der Definition auf und wird nicht weiter benutzt, und andere Quellen verwenden ohnehin einen eher rechnerischen Zugang. In diesem Artikel möchte ich die Berührungsrelation in den Vordergrund stellen und die Ableitungsregeln, insbesondere die Kettenregel, konzeptionell aus entsprechenden Eigenschaften der Berührungsrelation ableiten. Schließlich gibt es auch noch eine kategorientheoretische Einordnung der ganzen Theorie.
\(\endgroup\)
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