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Analysis » Topologie » Kompaktheit ohne Heine-Borel zeigen
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Universität/Hochschule Kompaktheit ohne Heine-Borel zeigen
dvdlly
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  Themenstart: 2021-07-22

Hallo, Gegeben sind folgende Aufgabenstellungen (ich gehe sie zur Klausurvorbereitung durch. Es darf nicht der Satz von Heine Borel verwendet werden, oder das eine stetige, bijektive Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum ein homöomorphismus ist. Kann mir jemand Tipps geben was ich mir überlegen kann? Danke!! :) Zeige, dass \(\mathbb{R}\) nicht zusammenhängend ist. (Hier würde ich nutzen, dass \(\mathbb{R}\) zu \((0,1)\) homöomorph ist, aber dann gehen mir die Ideen aus. Zeige, dass \(S^n\) homöomorph zum Rand von \([-1,1]^{n+1}\) ist. Zeige, dass \(S^n\) kompakt ist. Zeige, dass \(S^n \times S^n\) kompakt ist. Zeige, dass \(S^n \times \mathbb{R}\) nicht kompakt ist


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LetsLearnTogether
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-07-22

Hallo, welche Aussagen habt ihr denn zur Verfügung? \quoteon Zeige, dass \(\mathbb{R}\) nicht zusammenhängend ist. (Hier würde ich nutzen, dass \(\mathbb{R}\) zu \((0,1)\) homöomorph ist, aber dann gehen mir die Ideen aus. \quoteoff Hast du die Aufgabe falsch wiedergegeben? $\mathbb{R}$ ist ja zusammenhängend. Wie habt ihr zusammenhängend definiert? Da gibt es viele äquivalente Bedingungen. Unteranderem, dass in einem zusammenhängendem Raum die einzigen Mengen die offen und abgeschlossen sind, die leere Menge, und der Raum selber ist. Es auf $(0,1)$ zu reduzieren ist meiner Meinung nach etwas eigenartig, da es danach im Grunde die gleiche Frage ist. "Normalerweise" würde man einen Punkt rausnehmen und dann die Zusammenhangskomponenten zählen. \quoteon Zeige, dass \(S^n\) homöomorph zum Rand von \([-1,1]^{n+1}\) ist. \quoteoff Hast du schon versucht einen Homöomorphismus konkret anzugeben? Probiere vielleicht erstmal den anschaulichen Fall. \quoteon Zeige, dass \(S^n\) kompakt ist. \quoteoff Geht dann mit der vorhergehenden Aufgabe. \quoteon Zeige, dass \(S^n \times S^n\) kompakt ist. \quoteoff Was weißt du über Produkte von kompakten Mengen? (Der entsprechende Satz ist, falls du ihn nicht kennst, recht naheliegend und einfach zu beweisen.) \quoteon Zeige, dass \(S^n \times \mathbb{R}\) nicht kompakt ist \quoteoff Im Zweifelsfall könntest du das wohl strikt nach Definition widerlegen, indem du eine offene Überdeckung angibst, die keine endliche Teilüberdeckung hat. $\mathbb{R}$ ist ja nicht kompakt. Für das Produkt ist dann nicht mehr viel zutun.


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dvdlly
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-24

Hey, Danke für deine Antwort! Ja ich habe mich vertippt. Wir haben definiert: ein topologischer Raum \(X\) ist zusammenhängend \(\leftrightarrow\) \(\emptyset\) und \(X\) sind die einzigen offenen und abgeschlossenen Mengen. Außerdem gilt: \(X\) ist zusammenhängend \(\leftrightarrow\) \(X\) kann nicht als disjunkte Vereinigung zweier offener Mengen geschrieben werden.


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