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Mathematik » Strukturen und Algebra » Erklärung zu einem Beweisschritt
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Universität/Hochschule J Erklärung zu einem Beweisschritt
eisenstein01
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  Themenstart: 2022-05-21

Hi Leute, ich Verstehe den Beweis aus Ina Kerstens Skript von Lemma 4.4. nicht, für den Fall dass die einfache Unteralgebra $B$ kommutativ ist. Warum ist der genannte reine Tensor $(1 \otimes l_b) \in Z_{A \otimes_K E}(K \otimes_K l(B))$ ? Und was bedeutet dieses "und der Beweis der Behauptung ergibt"? Kann mir da jemand weiterhelfen?


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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-21

Zur ersten Frage: Die Definition von $\ell : B \to E = \mathrm{End}_K(B)$ ist $\ell(b)(x) = bx$. Und $\ell_b$ ist hier einfach unnötig komplexe Schreibweise für das Bild $\ell(b)$. Weil $B$ kommutativ ist, kommutiert jedes $b \in B$ mit ganz $B$. Also kommutiert $\ell(b)$ mit allen Elementen von $\ell(B)$. Also kommutiert $1 \otimes \ell(b)$ mit allen Elementen von $K \otimes_K \ell(B)$. Zur zweiten Frage: Mit "und der Beweis der Behauptung ergibt" ist sehr wahrscheinlich gemeint, dass die Isomorphien davor ja wirklich explizit hergeleitet und teilweise auch hingeschrieben worden sind. Mit $\mapsto$ ist hier also gemeint, dass man die Definitionen der Isomorphismen zusammengefasst hat und hier angewandt hat.


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eisenstein01
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26

\quoteon(2022-05-21 20:57 - Triceratops in Beitrag No. 1) Zur ersten Frage: Die Definition von $\ell : B \to E = \mathrm{End}_K(B)$ ist $\ell(b)(x) = bx$. Und $\ell_b$ ist hier einfach unnötig komplexe Schreibweise für das Bild $\ell(b)$. Weil $B$ kommutativ ist, kommutiert jedes $b \in B$ mit ganz $B$. Also kommutiert $\ell(b)$ mit allen Elementen von $\ell(B)$. Also kommutiert $1 \otimes \ell(b)$ mit allen Elementen von $K \otimes_K \ell(B)$. Zur zweiten Frage: Mit "und der Beweis der Behauptung ergibt" ist sehr wahrscheinlich gemeint, dass die Isomorphien davor ja wirklich explizit hergeleitet und teilweise auch hingeschrieben worden sind. Mit $\mapsto$ ist hier also gemeint, dass man die Definitionen der Isomorphismen zusammengefasst hat und hier angewandt hat. \quoteoff Vielen Dank!


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eisenstein01
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

\quoteon(2022-05-21 20:57 - Triceratops in Beitrag No. 1) Zur ersten Frage: Die Definition von $\ell : B \to E = \mathrm{End}_K(B)$ ist $\ell(b)(x) = bx$. Und $\ell_b$ ist hier einfach unnötig komplexe Schreibweise für das Bild $\ell(b)$. Weil $B$ kommutativ ist, kommutiert jedes $b \in B$ mit ganz $B$. Also kommutiert $\ell(b)$ mit allen Elementen von $\ell(B)$. Also kommutiert $1 \otimes \ell(b)$ mit allen Elementen von $K \otimes_K \ell(B)$. Zur zweiten Frage: Mit "und der Beweis der Behauptung ergibt" ist sehr wahrscheinlich gemeint, dass die Isomorphien davor ja wirklich explizit hergeleitet und teilweise auch hingeschrieben worden sind. Mit $\mapsto$ ist hier also gemeint, dass man die Definitionen der Isomorphismen zusammengefasst hat und hier angewandt hat. \quoteoff Ich merke gerade, dass mein Problem doch noch an einer anderen Stelle lag. Die einzelnen Schritte verstehe ich nun. Aber wieso folgt daraus jetzt, dass $\varphi(1 \otimes b) = b \otimes 1_E$? Kann ich das so beweisen: Wir wissen, dass es folgenden Isomorphismus gibt $$\varphi: A \otimes_K B^{op} \to Z_A(B) \otimes M_{n \times n}(K)$$ und erhalten dann $\varphi(1 \otimes b) = 1 \otimes l_b$ (da $B^{op} \cong l(B) \subset M_{n \times n}(K)$ und $\varphi$ als $K$-Alg.Hom die 1 auf die 1 schickt) Weiter also: $\varphi(1 \otimes b) = 1 \otimes l_b = b \otimes 1_E$ nach der oben gezeigten Aussage.


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