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  Erklärung zu einem Beweisschritt |
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eisenstein01
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 107
 |  Themenstart: 2022-05-21
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Hi Leute,
ich Verstehe den Beweis aus Ina Kerstens Skript von Lemma 4.4. nicht, für den Fall dass die einfache Unteralgebra $B$ kommutativ ist.
Warum ist der genannte reine Tensor $(1 \otimes l_b) \in Z_{A \otimes_K E}(K \otimes_K l(B))$ ? Und was bedeutet dieses "und der Beweis der Behauptung ergibt"?
Kann mir da jemand weiterhelfen?
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6349
Wohnort: Nordamerika
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-21
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Zur ersten Frage:
Die Definition von $\ell : B \to E = \mathrm{End}_K(B)$ ist $\ell(b)(x) = bx$. Und $\ell_b$ ist hier einfach unnötig komplexe Schreibweise für das Bild $\ell(b)$.
Weil $B$ kommutativ ist, kommutiert jedes $b \in B$ mit ganz $B$. Also kommutiert $\ell(b)$ mit allen Elementen von $\ell(B)$. Also kommutiert $1 \otimes \ell(b)$ mit allen Elementen von $K \otimes_K \ell(B)$.
Zur zweiten Frage:
Mit "und der Beweis der Behauptung ergibt" ist sehr wahrscheinlich gemeint, dass die Isomorphien davor ja wirklich explizit hergeleitet und teilweise auch hingeschrieben worden sind. Mit $\mapsto$ ist hier also gemeint, dass man die Definitionen der Isomorphismen zusammengefasst hat und hier angewandt hat.
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eisenstein01
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 107
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-26
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\quoteon(2022-05-21 20:57 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Zur ersten Frage:
Die Definition von $\ell : B \to E = \mathrm{End}_K(B)$ ist $\ell(b)(x) = bx$. Und $\ell_b$ ist hier einfach unnötig komplexe Schreibweise für das Bild $\ell(b)$.
Weil $B$ kommutativ ist, kommutiert jedes $b \in B$ mit ganz $B$. Also kommutiert $\ell(b)$ mit allen Elementen von $\ell(B)$. Also kommutiert $1 \otimes \ell(b)$ mit allen Elementen von $K \otimes_K \ell(B)$.
Zur zweiten Frage:
Mit "und der Beweis der Behauptung ergibt" ist sehr wahrscheinlich gemeint, dass die Isomorphien davor ja wirklich explizit hergeleitet und teilweise auch hingeschrieben worden sind. Mit $\mapsto$ ist hier also gemeint, dass man die Definitionen der Isomorphismen zusammengefasst hat und hier angewandt hat.
\quoteoff
Vielen Dank!
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eisenstein01
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2022
Mitteilungen: 107
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28
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\quoteon(2022-05-21 20:57 - Triceratops in Beitrag No. 1)
Zur ersten Frage:
Die Definition von $\ell : B \to E = \mathrm{End}_K(B)$ ist $\ell(b)(x) = bx$. Und $\ell_b$ ist hier einfach unnötig komplexe Schreibweise für das Bild $\ell(b)$.
Weil $B$ kommutativ ist, kommutiert jedes $b \in B$ mit ganz $B$. Also kommutiert $\ell(b)$ mit allen Elementen von $\ell(B)$. Also kommutiert $1 \otimes \ell(b)$ mit allen Elementen von $K \otimes_K \ell(B)$.
Zur zweiten Frage:
Mit "und der Beweis der Behauptung ergibt" ist sehr wahrscheinlich gemeint, dass die Isomorphien davor ja wirklich explizit hergeleitet und teilweise auch hingeschrieben worden sind. Mit $\mapsto$ ist hier also gemeint, dass man die Definitionen der Isomorphismen zusammengefasst hat und hier angewandt hat.
\quoteoff
Ich merke gerade, dass mein Problem doch noch an einer anderen Stelle lag. Die einzelnen Schritte verstehe ich nun. Aber wieso folgt daraus jetzt, dass
$\varphi(1 \otimes b) = b \otimes 1_E$?
Kann ich das so beweisen: Wir wissen, dass es folgenden Isomorphismus gibt
$$\varphi: A \otimes_K B^{op} \to Z_A(B) \otimes M_{n \times n}(K)$$ und erhalten dann
$\varphi(1 \otimes b) = 1 \otimes l_b$ (da $B^{op} \cong l(B) \subset M_{n \times n}(K)$ und $\varphi$ als $K$-Alg.Hom die 1 auf die 1 schickt)
Weiter also: $\varphi(1 \otimes b) = 1 \otimes l_b = b \otimes 1_E$ nach der oben gezeigten Aussage.
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eisenstein01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
eisenstein01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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