| Autor |
  Oberflächenintegral berechnen |
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Dominik1112
Aktiv 
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 50
 |  Themenstart: 2022-08-17
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Hallo,
noch eine Frage zu Oberflächenintegralen:
Geben ist $M=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: x^2+y^2<1\text{ und } z=3-2x-2y\}$
Berechnen möchte ich wieder $\int_M 1dS_M$, also die Oberfläche von $M$. Wie kann ich denn hier am besten vorgehen? Die erste Bedingung ist ja ein (offener) Kreis und die zweite Bedingung eine Ebene. Wenn man die Menge zeichnet, sieht sie wahrscheinlich ein wenig wie ein Zylinder aus. Also wäre wahrscheinlich Zylinderkoordinaten hilfreich. Ich danke schonmal für Hilfe!!
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Bozzo
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Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2300
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-18
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Die erste Bedingung ist ein offener Kreis in (x,y). z ist in dieser Bedingung allerdings noch beliebig und dadurch wird aus dem offenen Kreis ein offener unendlich langer Zylinder, der sich in z-Richtung ausdehnt. Was entsteht nun, wenn dieser von einer Ebene geschnitten wird?
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Dominik1112
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18
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Das müsste dann ein Kreis mit Radius 1 sein
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-18
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Hallo,
diese Grafik könnte dir einen Denkanstoß geben.
LG Nico
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Dominik1112
Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18
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Dann beschreibt die Menge eine Ellipse im $\mathbb R^3$, oder?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ja, ein Flächenstück, das von einer Ellipse berandet wird. Du könntest z.B. mal eine Drehung anwenden, so dass die resultierende Ebene parallel zur $xy$-Ebene ist.
Dann solltest du die Ellipse erkennen.
Edit: Alternativ könntest du den Zylinder durch $(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi),z)$ parametrisieren und vermöge $z=3-2x-2y$ das $z$ durch $r$ und $\varphi$ ausdrücken. Das beschriebene Flächenstück habe ich mal mit Maple plotten lassen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53710_ellipse.png
LG Nico\(\endgroup\)
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Dominik1112
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18
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Dann versuche ich es mal mit Zylinderkoordinaten.
$(x,y,z)=(r\cos\phi, r\sin \phi z)$ mit $z=3-2r(\cos \phi+\sin \phi)$. $r$ ist hier $1$ wegen $x^2+y^2<1$.
Ich weiß echt nicht wie ich hier jetzt weitermachen kann :/
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Jetzt bist du doch fertig!
Eine Parametrisierung (bis auf eine Nullmenge) von $M$ ist also gegeben durch
$$
\Phi\colon (0,1)\times (0,2\pi)\to \mathbb R^3, \ (r,\phi)\mapsto (r\cos(\phi),r\sin(\phi),3-2r(\cos(\phi)+\sin(\phi))).
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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Dominik1112
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18
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Muss ich nicht noch die Determinante von $D\Phi(r,\phi)^TD\Phi(r,\phi)$ ausrechnen?
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-18
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ja und davon dann die Wurzel nehmen und das Ergebnis integrieren.
In diesem Spezialfall kannst du auch das Kreuzprodukt der beiden Spalten der Jacobi-Matrix von $\Phi$ ausrechnen und davon dann die (von $r$ und $\phi$ abhängige) Länge (euklidische Norm) ausrechnen und diese integrieren.
Ich dachte das wäre dir klar, wie man weitermacht, sobald man eine Parametrisierung gefunden hat und dachte, du hast noch ein Problem damit, eine Parametrisierung zu finden. In Bezug auf das Finden einer Parametrisierung war dann mein "Du bist jetzt fertig!" gemeint.
LG Nico\(\endgroup\)
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Dominik1112
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18
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Für das Kreuzprodukt bekomme ich $g(r,\phi)=(2r,2r,r)$ und damit
$\int_0^{2\pi}\int_0^1 \|g\|_2drd\phi=3\pi$
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-18
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Habe ich auch so.
LG Nico
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Dominik1112
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18
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