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Mathematik » Stochastik und Statistik » SIS-Modell Exponentialverteilung
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Universität/Hochschule J SIS-Modell Exponentialverteilung
paulster
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  Themenstart: 2021-11-27

Hallo Leute, ich lese gerade eine Arbeit über Epidemiologie durch und bin beim SIS-Modell auf etwas komisches gestoßen. Es wird nämlich $I(t)$ (gibt die Anzahl von infizierten Personen zum Zeitpunkt $t$ an) durch den Anfangswert $I(0)=I_0$ geteilt, was ich ja noch verstehen kann, da man sich die relative Häufigkeit in Abhängigkeit von der Zeit anschauen möchte. Dann ergibt sich die Gleichung $\frac{I(t)}{I_0}=e^{-\gamma t}$ ($\gamma$ ist die Genesungsrate). Jetzt wird behauptet, dass die Infektionsdauer, also die obere Gleichung schätze ich mal, exponentialverteilt sei mit Erwartunsgwert $\int\limits_0^\infty t\gamma\,e^{-\gamma t}=\frac{1}{\gamma}$, was der mittleren Infektionsdauer entspricht. Aber diese Gleichung oben entspricht doch keiner Exponentialverteilung, oder? Danke schonmal im Voraus, falls jemand eine Idee dazu hat :) LG, paulster.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2021-11-27

\quoteon(2021-11-27 01:36 - paulster im Themenstart) Aber diese Gleichung oben entspricht doch keiner Exponentialverteilung, oder? \quoteoff Doch: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Infizierter zur Zeit $t$ noch nicht genesen ist, ist $e^{-\gamma t}$. Also ist die Wahrscheinlichkeitsdichte $f$ für die Dauer $T$ bis zur Genesung $$ f(t) = {\mathrm d\over\mathrm d t}\,P(T\le t) = {\mathrm d\over\mathrm d t}\,\bigl[1-P(T>t)\bigr] = -{\mathrm d\over\mathrm d t}\,e^{-\gamma t} = \gamma e^{-\gamma t} \;, $$und das ist die Dichte einer Exponentialverteilung. --zippy


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paulster
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-11-27

Hallo zippy, danke für deine Antwort. Ich hab garnicht an Wahrscheinlichkeiten gedacht, aber es liegt auf der Hand, da man hier ja relative Häufigkeiten betrachtet. Also vielen Dank und schönes Wochenende noch. LG, paulster


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