Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Vollständigkeit von Räumen, Folgenraum, Sup-Norm
Autor
Universität/Hochschule J Vollständigkeit von Räumen, Folgenraum, Sup-Norm
S3bi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
  Themenstart: 2022-05-28

Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass der Raum d der Folgen in C, für die höchstens endlich viele Folgenglieder von Null verschieden sind, mit der Norm \(||.||_\infty\) nicht vollständig ist. Mein Ansatz wäre: Ein Beispiel zu finden, bei dem die Cauchy Folge nicht konvergiert. Ich habe dann ja eine Folge \((c_n)_{n \in \mathbb{N}}\) mit\(c_n = (t_m^n)_{m \in \mathbb{N}}\). Dann würde ich ansetzen mit: \[||c_n-c_{n'}||_\infty = \text{sup}(||(t_m^n)_{m \in N}-(t_m^{n'})_{m \in N}||_\infty) \geq \text{sup}(||(t_m^n)_{m \in \mathbb{N}}||_\infty-||(t_m^{n'})_{m \in \mathbb{N}}||_\infty)\] Passt das erstmal so von der Notation? Dürfen/müssen beide m's gleich sein? Wird dann nach de größten Differenz gesucht mit dem äußeren Supremum? Darf ich annehmen, dass es in \(c_n\) nur eine Folge gibt, bei der ein Element/Folge gibt, die ein Element hat? Dann würde ich sagen, wenn n\(\neq\)n' gilt, kann ich ja bspw \[t_m^1= 1,0,0,... \\ \text{setzen und}\\ t_m^n=0,0,.. :n > 1\], dann wäre \[\text{sup}(||(t_m^n)_{m \in \mathbb{N}}||_\infty-||(t_m^{n'})_{m \in \mathbb{N}}||_\infty) = 1\] und das kann ich nicht beliebig klein machen. Also finde ich kein \(n,n'> N_0 \in \mathbb{N}\) für das \(||c_n-c_{n'}||_\infty < \epsilon\), wobei \(\epsilon\) beliebig klein werden kann oder? Schöne Grüße S3bi


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, das ist der Abstand von \( c_1\) und \( c_n\), aber was ist mit \( c_n\) und \( c_{n'}\) ? Und wie soll \( c_{n'}\) überhaupt aussehen? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
S3bi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Hallo Wally, mit meinem Cauchy Konvergenz Kriterium zeigen ich ja normalerweise, dass ich ein \(\epsilon\) finden kann für das die Folgeglieder sich immer weiter an sich heranschmiegen. Also ja nicht mehr die aufeinanderfolgenden, sondern irgendwelche. Bei mir haben die den Index n und n'. Und die \(c_i\) sind Elemente aus meinem Folgenraum, also jeweils auch Folgen, die ich mit t benannt habe. Ich bin mir selbst noch unsicher, wie ich das genau mit dem sup schreiben müsste. Ich habe aber gedacht, dass wenn ich ein festes \(\epsilon\) finde und ich das nicht beliebig klein machen kann, sodass ich wieder ein N finde, ab dem diese Differenz im Betrag kleiner \(\epsilon\) ist, dass das die Cauchy Konvergenz verletze und der Raum dann nicht mehr vollständig ist. Die Alternativ Idee ist, dass ich eine Folge konstruiere, die als Grenzwert einen Wert hat, der nicht mehr in meinem Raum bin. Also, wie wenn man zeigt, dass die Rationalen Zahlen nicht vollständig sind, wenn man eine Folge konstruiert, die gegen \(\sqrt{2}\) strebt. LG S3bi


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Natürlich konstruiert man eine Cauchyfolge, die nicht konvergiert. Aber es ist überhaupt nicht klar, wie deine Folgen denn aussehen sollen. \( c_1: 1,0,0,0,0,0\ldots\) \( c_2: \) ?? \( c_3:\) ?? Ach ja, noch ein Tipp: eine Teilemnge eines vollständigen Raums ist genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
bdominik
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 15
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-28

Tipp: starte mit einer Nullfolge in IR. Nun betrachte die Folge der jenigen Folgen, welche die Nullfolge ab einem gewissen Glied abschneidet (also mit 0 fortsetzt.


   Profil
S3bi
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 02.01.2021
Mitteilungen: 93
Wohnort: Heidelberg
  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

\quoteon(2022-05-28 22:26 - Wally in Beitrag No. 3) Natürlich konstruiert man eine Cauchyfolge, die nicht konvergiert. Aber es ist überhaupt nicht klar, wie deine Folgen denn aussehen sollen. \( c_1: 1,0,0,0,0,0\ldots\) \( c_2: \) ?? \( c_3:\) ?? \quoteoff das wollte ich in meinem ersten Beitrag sagen: \( c_1: 1,0,0,0,0,0\ldots\) \( c_2: 0,0,0,0,0,0,... \) \( c_3: 0,0,0,0,0,0,...\) Hätte gedacht, dass ich dann in der Supremumsnorm den größten Abstand wählen muss, also 1-0=1 \quoteon(2022-05-28 22:41 - bdominik in Beitrag No. 4) Tipp: starte mit einer Nullfolge in IR. Nun betrachte die Folge der jenigen Folgen, welche die Nullfolge ab einem gewissen Glied abschneidet (also mit 0 fortsetzt. \quoteoff Ansonsten irgendwie: \( c_1: 1,0,0,0,0,0\ldots\) \( c_2: 1/2,0,0,0,0,0,... \) \( c_3: 1/3,0,0,0,0,0,...\) Also, dass ich dann die Nullfolge 1/n im ersten Argument hätte. Dann wäre nach meinem Verständnis die Differenz im Sup: 1-1/2 =1/2 Bin aber noch nicht ganz zufrieden mit meiner Vorstellung. \quoteon(2022-05-28 22:26 - Wally in Beitrag No. 3) Ach ja, noch ein Tipp: eine Teilemenge eines vollständigen Raums ist genau dann vollständig, wenn sie abgeschlossen ist. \quoteoff Kann ich dann als Raum den Raum der Folgen nehmen und als Komplement den mit unendlich vielen Einträgen ungleich Null? Dann wüsste ich auch nicht mehr weiter. Danke schonmal für die Hilfe. LG S3bi


   Profil
Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9499
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) 1. \( (c_n)\) konvergiert gegen die Nullfolge 2. Lies dir die Cauchy-Bedingung noch mal ganz genau durch. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


   Profil
S3bi hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
S3bi hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]