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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Kern linearer Abbildung
Autor
Universität/Hochschule Kern linearer Abbildung
Dominik1112
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  Themenstart: 2022-07-05

Sei $V\neq 0$ ein Vektorraum über $\mathbb R$, $F:V\rightarrow V$ linear. Sei $kern(F)=span\{v\}$ eindimensional. Gilt dann $F^n(w)\neq 0$ für alle $n\in\mathbb N$, wenn $w\not\in kern(F)$? Ist die Aussage richtig? und wenn ja wie lässt es sich beweisen? Danke für Hilfe, euer Dominik

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Qing
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-05

Edit: Beitrag zurückgezogen. :)

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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-05

Ein Gegenbeispiel sollte schnell zu finden sein. --zippy

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Dominik1112
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-05

Ich habe es mit $2\times 2$ Matrizen versucht aber kein Gegenbeispiel gefunden.

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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-05

\quoteon(2022-07-05 12:56 - Dominik1112 in Beitrag No. 3) Ich habe es mit $2\times 2$ Matrizen versucht aber kein Gegenbeispiel gefunden. \quoteoff Du kannst annehmen, dass $v=(1,0)^T$ ist. Dann haben die $2\times 2$-Matrizen $F$ mit $\operatorname{kern}(F)=\operatorname{span}(v)$ die Form$$F=\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix}$$mit $(a,b)\ne(0,0)$. Ein Vektor $w\notin\operatorname{kern}(F)$ hat die Form $w=(c,d)$ mit $d\ne0$ und es ist $F^2w=(a,b)^Tbd$. Wegen $(a,b)\ne(0,0)$ und $d\ne0$ ist also $a\ne0$, $b=0$ zu wählen, um ein Gegenbeispiel zu erhalten.

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