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Funktionentheorie » Singularitäten & Laurent-Reihen » Holomorphie des Hauptteils einer Laurentreihe
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Universität/Hochschule J Holomorphie des Hauptteils einer Laurentreihe
Cyborg
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.05.2009
Mitteilungen: 712
  Themenstart: 2022-08-18

Hallo, Leute! Ich habe folgendes Problem: Ein Bild: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/26086_1_fff.jpg Wie genau zeigt man, dass $f_1$ auf $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$ holomorph ist??? Danke.

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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Cyborg, \( f\) ist holomorph, der Nebenteil \( f_0 \) ist holomorph. Also ist..... Viele Grüße Wally \(\endgroup\)

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Cyborg
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Dabei seit: 20.05.2009
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Ich habe mir das so gedacht: $f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}a_n\cdot(z-z_0)^n$ konvergiere für $z\in U_r(z_0)\setminus\{z_0\}=K(0,r,z_0)=\{z\in\mathbb{C}: 0<|z-z_0|\left|\dfrac{1}{z-z_0}\right|=|w|>\dfrac{1}{r}$ Wie benutzt man jetzt !!!Konvergenzsätze für Potenzreihen!!!, um zu zeigen, dass $f_1(z)$ für $z\in\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$ konvergiert???

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Cyborg
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Ich glaube, ich habe was: Sei $R$ der Konvergenzradius von $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot w^{n}$, also konvergiert $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot w^{n}$, falls $|w|\dfrac{1}{r}$ folgt also $\dfrac{1}{r}0$). Also ist der Konvergenzradius von $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot w^{n}$ gleich $\infty$, also konvergiert $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(\dfrac{1}{z-z_0}\right)^{n}$, falls $\left|\dfrac{1}{z-z_0}\right|<\infty$. Wegen $\left|\dfrac{1}{z_0-z_0}\right|=|\pm\infty|\geq\infty$ folgt also, dass $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(\dfrac{1}{z-z_0}\right)^{n}$ für alle $z\in \mathbb{C}$ konvergiert, außer für $z=z_0$, also konvergiert $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{-n}\cdot\left(\dfrac{1}{z-z_0}\right)^{n}$ auf $\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$. \red\ ALLES OK???

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Cyborg hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Cyborg hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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